Bilangan Real dan Grafik

Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks yaitu bilangan yang ada pada dua dimensi, yaitu bilangan real dan bilangan imajiner. Bentuk umum Z = a+bi   ;  dimana a = bilangan real

b = koefisien imajiner

i   = imajiner

Bilangan Real

Bilangan real yaitu bilangan yang digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun kehidupan sehari-hari.

Bilangan Rasional

Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam perbandingan dua buah bilangan bulat atau jika dalam bentuk desimal merupakan desimal yang berakhir atau jika tidak berakhir merupakan bentuk desimal berulang secara teratur.

Contoh:a. 1,23 =

b.  1,256256256…

c.  2,4444444…

Interval Bilangan Real

Beberapa cara menyatakan interval bilangan real

1. Menggunakan notasi himpunan
2. Menggunakan garis
3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum(batas min)

Contoh:

1. A = {1, 2, 3, 4}

Secara Notasi:  A = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x ∊ R}

Grafik garis: A =

Suprimum dan infrimum : A = [1,4]

Secara Notasi: A = {x |  1 ≤ x < 5, x ∊ R}

Grafik garis: A =

Suprimum dan infrimum:  A = [1,5)

Secara Notasi: A = {x | 0 < x ≤ 4, x ∊ R}

Grafik garis:  A =

Suprimum dan infrimum:  A = (0,4]

1. B = {1,2,3,. . .}

Secara Notasi:  B = {x | x ≥ 1, x ∊ R}

Grafik garis:  B =

Suprimum dan infrimum:  A = [1,  ̴)

1. C = {…, 8, 9, 10}

Secara notasi:  c = {x| x ≤ 10, x ∊ R}

Grafik garis: C =

Suprimum dan infrimum:  C = (-~, 10]

Sifat-sifat urutan bilangan real

• Trikotomi yaitu ∀ a, b ∊ R  maka satu diantara berikut benar:  a = b

a > b

a < b

• Transitif (silogisme)

Menyatakan ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila  a < b dan b < c  maka  a < c

• Sifat Additif menyatakan  ∀ a,b,c ∊ R berlaku bila a < b maka (a+c) < (b+c)
• Multiplikatif menyatakan  ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila a < b maka (a x c) < (b x c)  {untuk c > 0}

(a x c) > (b x c)  {untuk c < 0}

Sifat Kealjabaran Bilangan Real

• Tertutup dalam penjumlahan dan perkalian

karena ∀ a,b ∊ R  maka  a+b=c   ∊ R

juga   a x b = q  ∊  R

• Komutatif  dalam penjumlahan dan perkalian

karena  ∀ a,b ∊ R  maka  a+b = b+a

juga  a x b = b x a

• Assosiatif

karena  ∀ a,b,c  ∊ R  maka   a+(b+c) = (a+b)+c

juga  a x (b x c) = (a x b) x c

• Unsur  Identitas

pada  +  yaitu  0, karena  ∀ a ∊ R berlaku a + 0 = 0 + a = a

pada  x  yaitu 1, karena ∀ a ∊ R berlaku  a x 1 = 1 x a = a

• Memenuhi syarat invers

Karena ∀a ∊ R,  ∃a-1∊ R     a + a-1 = a-1 +a = 0

Karena ∀b ∊ R, ∃b-1∊ R    b x b-1 = b-1 x b = 1

• Distributif

Karena  ∀ a,b,c  ∊ R  berlaku  a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

PERTAKSAMAAN

• Kesamaan : suatu persamaan yang tidak memiliki variabel.

Misal:    2+3 = 5

• Persamaan: suatu persamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus untuk mencari nilai variabel tsb.

Misal:    2x -5 = 9

• Ketidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang  tidak memiliki variabel.

Misal: 2+5 < 10

• Pertidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus untuk mencari nilai variabel tsb.

Misal:    3x+6 >5

1. Pertaksamaan Linier

Contoh:   2x + 5 > 3

3x + 8 < x +10

-2 < 2x + 3 < 8

2x < 5x – 7 < 8x + 3

Dalam penyelesaian pertaksamaan linier gunakan kaidah additif dan multiplikatif dalam urutan bilangan real, yaitu:

1. Pada tiap pertaksamaan dapat menambahkan bilangan real yang sama pada masing-masing ruas tanpa mengubah tanda pertaksamaan
2. Pada setiap pertaksamaan dapat dikalikan bilangan yang sama untuk masing-masing ruas, dengan catatan:

a. jika bilangan pengali ≥ 0, tanda pertaksamaan tetap

b. jika bilangan pengali < 0, tanda pertaksamaan dibalik

 Pertidaksamaan Non Linier

Contoh:   x2 +5x -6 > 0

untuk menyelesaikan pertaksamaan non linier perlu dilakukan langkah sebagai berikut:

1. Gunakan kaidah additif dan multiplikatif seperti pada pertaksamaan linier
2. Buat ruas kanan = 0
3. Buat ruas kiri menjadi faktor-faktor linier
4. Jika ruas kiri merupakan benttuk fungsi rasional buatlah masing-masing penyebut dan pembilang menjadi faktor linier tersendiri
5. Tentukan nilai nol fungsi dari faktor linier pada ruas kiri
6. Dengan menggunakan garis bilangan real, tentukan ruas interval dengan pembagi di titik nol fungsi yang diperoleh
7. Dengan menggunakan sample bilangan pada masing-masing ruas interval, yaitu:

a. jika positif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan > atau ≥

b. jika negatif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan < atau ≤

 Nilai Mutlak

Nilai mutlak dituliskan dengan |x| didefinisikan dengan |x| = x  jika x ≥ 0   dan

=-x jika x < 0

Misal:  |5| = 5;                   |-5|=5;                 |0|=0

Sifat-sifat nilai mutlak:

1. |ab|=|a| |b|
2. |a/b|=|a|/|b|
3. |a+b|=|a|+|b|
4. |a-b|=||a|-|b||

Penyelesaian nilai mutlak dapat menggunakan pengkuadratan atau dengan teorema:

1. |x|< a    maka –a < x < a
2. |x|> a   maka x > -a   atau x > a

FUNGSI

Fungsi yaitu aturan yang memasang setiap elemen suatu himpunan dengan tepat pada suatu elemen himpunan kedua.

A                      f(x)                            B

a                                                        3

b                                                        4

c                                                        5

d                                                       10

Keterangan:

A = {a,b,c,d} → domain / daerah asal

B = {3,4,5,10} → kodomaim / daerah kawan

C = {3,4,10} → range / daerah hasil

Operasi Fungsi

Asal g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

(fog) (x) = f(g(x))

(hofog) (x) = h(fog(x))

LIMIT

Limit bermakna “mendekati”. Misal bada bentuk .

Dalam hal ini, fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x =1 karena di titik ini f(x)= yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada x mendekai 1.

LIMIT SEPIHAK

Definisi:

“Suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada x = a, jika dan hanya jika ”

Contoh:

Jadi dapat disimpulkan bahwa = -1

Terdapat beberapa fungsi yang memungkinkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan,yaitu:

1. Fungsi bersyarat / tangga
2. Fungsi mutlak
3. Fungsi bilangan bulat terbesar

Alasan F Sinaga (201831034)